Read or Download Numerische Mathematik: Gewöhnliche Differentialgleichungen (de Gruyter Lehrbuch) (German Edition) PDF

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Welchen Differentiationsindex D besitzt das challenge? Wie verändert sich der Störungsindex, wenn nur die Differentialgleichung x10 x3 x20 C x2 x30 D zero gestört wird? Diskutiere den Unterschied zu Aufgabe three. nine. Aufgabe three. eleven. Betrachtet sei folgendes approach einer Reaktion dreier Spezies: x10 D 0:04x1 C 104 x2 x3 ; x20 D 0:04x1 104 x2 x3 three 107 x22 ; x30 D three 107 x22 : Zeige: (i) Es gilt x1 . t / C x2 . t / C x3 . t / D x1 . zero/ C x2 . zero/ C x3 . zero/ D M für alle Zeiten t zero, für die die Lösung existiert. (Massenerhaltung) (ii) Für x. zero/ 2 quality control gilt x. t / 2 quality controls für alle Zeiten t existiert. Hierbei ist quality control D Œ0; 1Œ3 . zero, für die die Lösung (iii) Für x. zero/ 2 quality control existiert eine eindeutige Lösung x W Œ0; 1Œ! quality controls . (iv) Für x. zero/ 2 quality controls ist keine Trajektorie asymptotisch stabil. Aufgabe three. 12. Zeige die Behauptung aus Beispiel three. 35, dass für die Indizes der Eigenwerte e der Matrizenexponentiellen exp. A/, 2 . A/ gilt Ã. e / D Ã. /: Hinweis: Zeige zunächst, dass die Matrizenexponentielle eines Jordanblockes nichtderogatorisch ist. Aufgabe three. thirteen. Führe einen direkten Beweis des Satzes three. 38 mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes. Hinweis: Es sei an Aufgabe four. 2 aus Band 1 erinnert. Aufgabe three. 14. Zeige folgenden Spezialfall des berühmten Kreiss-Matrix-Theorems von 1962: Für eine Matrix A 2 Matd . C/ ist die lineare new release xnC1 D Axn genau dann stabil, wenn die Resolventenbedingung ok. zI A/ 1 okayä C jzj 1 für alle jzj > 1 für eine gewisse Konstante C > zero gilt. Hinweis. Argumentiere mit den Nullstellen des Minimalpolynoms von zI verwende Satz three. 33. A und 127 Übungsaufgaben Aufgabe three. 15. Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems für den harmonischen Oszillator: y 00 C ! 2 y D zero; y. zero/ D y0 ; y zero . zero/ D v0 : Wandle das challenge um in ein lineares approach 1. Ordnung der Bauart x0 D A x mit x 2 R2 : Zur Lösung dieses structures mittels der Matrizenexponentiellen expAs werde die Reihenentwicklung bestimmt. Zeige, dass für n 2 N0 gilt: A2n D . 1/n ! 2n I A2nC1 D . 1/n ! 2n A: und Aufgabe three. sixteen. Betrachtet wird das method gewöhnlicher Differentialgleichungen x zero D a. x 2 C y 2 / x b. x 2 C y 2 / y; y zero D a. x 2 C y 2 / y C b. x 2 C y 2 / x in R2 mit differenzierbaren Funktionen a; b W R ! R. a) Für die spezielle Wahl a. z/ D z und b. z/ D 2 untersuche das approach auf Fixpunkte und bestimme deren Charakter (asymptotisch stabil bzw. instabil). b) Zur weiteren examine transformiere auf Polarkoordinaten r; , worin r 2 D x2 C y2 D arctan. x=y/: und Hinweis zur Kontrolle: Verwende die Beziehungen: 1 r zero D . xx zero C yy zero /; r zero D 1 . xy zero r2 yx zero /: Welche spezielle shape nimmt das procedure durch die Transformation an? c) Wie kann guy aus der transformierten Gleichung Rückschlüsse auf die Stabilität von Fixpunkten ziehen? Aufgabe three. 17. Gegeben sei die Differentialgleichung x0 D x2; x. zero/ D 1: Löse die zugehörige Variationsgleichung für ıx. t / und bestimme die Konditionszahlen Ä. t / sowie ÄŒ0; 1 ". four Einschrittverfahren für nichtsteife Anfangswertprobleme In diesem Kapitel wenden wir uns dem Hauptthema des Buches zu, der numerischen Approximation der Lösung x 2 C 1 .

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